Bayesian Computation with R (use R)

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1 An Introduction to R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Exploring a Student Dataset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Introduction to the Dataset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.2 Reading the Data into R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3 R Commands to Summarize and Graph
a Single Batch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.4 R Commands to Compare Batches . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.5 R Commands for Studying Relationships . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Exploring the Robustness of the t Statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Writing a Function to Compute the t Statistic . . . . . . . . 9
1.3.3 Programming a Monte Carlo Simulation . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.4 The Behavior of the True Significance Level Under
Different Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Further Reading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Summary of R Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Introduction to Bayesian Thinking. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Learning About the Proportion of Heavy Sleepers . . . . . . . . . . . 19
2.3 Using a Discrete Prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Using a Beta Prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Using a Histogram Prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 Further Reading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8 Summary of R Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
x Contents
3 Single-Parameter Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Normal Distribution with Known Mean but Unknown
Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Estimating a Heart Transplant Mortality Rate . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 An Illustration of Bayesian Robustness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Mixtures of Conjugate Priors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6 A Bayesian Test of the Fairness of a Coin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.7 Further Reading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.8 Summary of R Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Multiparameter Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Normal Data with Both Parameters Unknown . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 A Multinomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4 A Bioassay Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5 Comparing Two Proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.6 Further Reading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.7 Summary of R Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5 Introduction to Bayesian Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Computing Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3 Setting Up a Problem in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.4 A Beta-Binomial Model for Overdispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.5 Approximations Based on Posterior Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.6 The Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.7 Monte Carlo Method for Computing Integrals . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.8 Rejection Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.9 Importance Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.9.2 Using a Multivariate t as a Proposal Density . . . . . . . . . . 103
5.10 Sampling Importance Resampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.11 Further Reading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.12 Summary of R Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6 Markov Chain Monte Carlo Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2 Introduction to Discrete Markov Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3 Metropolis-Hastings Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4 Gibbs Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.5 MCMC Output Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Contents xi
6.6 A Strategy in Bayesian Computing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.7 Learning About a Normal Population from Grouped Data . . . . 124
6.8 Example of Output Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.9 Modeling Data with Cauchy Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.10 Analysis of the Stanford Heart Transplant Data . . . . . . . . . . . . . 140
6.11 Further Reading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.12 Summary of R Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7 Hierarchical Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.2 Three Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.3 Individual and Combined Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4 Equal Mortality Rates? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.5 Modeling a Prior Belief of Exchangeability . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.6 Posterior Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.7 Simulating from the Posterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.8 Posterior Inferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.8.1 Shrinkage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.8.2 Comparing Hospitals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.9 Bayesian Sensitivity Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.10 Posterior Predictive Model Checking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.11 Further Reading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.12 Summary of R Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8 Model Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.2 Comparison of Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.3 A One-Sided Test of a Normal Mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.4 A Two-Sided Test of a Normal Mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.5 Comparing Two Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.6 Models for Soccer Goals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.7 Is a Baseball Hitter Really Streaky? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.8 A Test of Independence in a Two-Way Contingency Table . . . . 194
8.9 Further Reading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.10 Summary of R Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9 Regression Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.2 Normal Linear Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.2.1 The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.2.2 The Posterior Distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.2.3 Prediction of Future Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
xii Contents
9.2.4 Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.2.5 Model Checking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.2.6 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.3 Model Selection Using Zellner’s g Prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.4 Survival Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.5 Further Reading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.6 Summary of R Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
10 Gibbs Sampling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
10.2 Robust Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
10.3 Binary Response Regression with a Probit Link . . . . . . . . . . . . . 240
10.3.1 Missing Data and Gibbs Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
10.3.2 Proper Priors and Model Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.4 Estimating a Table of Means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
10.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
10.4.2 A Flat Prior Over the Restricted Space . . . . . . . . . . . . . . 250
10.4.3 A Hierarchical Regression Prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
10.4.4 Predicting the Success of Future Students . . . . . . . . . . . . 259
10.5 Further Reading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.6 Summary of R Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
11 Using R to Interface with WinBUGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
11.1 Introduction to WinBUGS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
11.2 An R Interface to WinBUGS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
11.3 MCMC Diagnostics Using the coda Package . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.4 A Change-Point Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
11.5 A Robust Regression Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
11.6 Estimating Career Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
11.7 Further Reading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
11.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
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2013-2-15 00:28 上传

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