Wavelet Methods in Statistics with R Use R

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1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 What Are Wavelets? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Why Use Wavelets? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Why Wavelets in Statistics? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Software and This Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Wavelets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Multiscale Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Haar Wavelets (on Functions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Multiresolution Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Vanishing Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 WaveThresh Wavelets (and What Some Look Like) . . . . . . . . . . 41
2.6 Other Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7 The General (Fast) Discrete Wavelet Transform . . . . . . . . . . . . . 50
2.8 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.9 Non-decimated Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.10 Multiple Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.11 Wavelet Packet Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.12 Non-decimated Wavelet Packet Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.13 Multivariate Wavelet Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.14 Other Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3 WaveletShrinkage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 Wavelet Shrinkage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3 The Oracle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4 Test Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5 Universal Thresholding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.6 Primary Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.7 SURE Thresholding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.8 Cross-validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
X Contents
3.9 False Discovery Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.10 Bayesian Wavelet Shrinkage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.11 Linear Wavelet Smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.12 Non-Decimated Wavelet Shrinkage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.13 Multiple Wavelet Shrinkage (Multiwavelets) . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.14 Complex-valued Wavelet Shrinkage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.15 Block Thresholding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.16 Miscellanea and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4 RelatedWaveletSmoothingTechniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2 Correlated Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3 Non-Gaussian Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.4 Multidimensional Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.5 Irregularly Spaced Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.6 Confidence Bands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.7 Density Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.8 Survival Function Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.9 Inverse Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5 MultiscaleTimeSeriesAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.2 Stationary Time Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.3 Locally Stationary Time Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.4 Forecasting with Locally Stationary Wavelet Models . . . . . . . . . 192
5.5 Time Series with Wavelet Packets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.6 Related Topics and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6 MultiscaleVarianceStabilization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.1 Why the Square Root for Poisson? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.2 The Fisz Transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.3 Poisson Intensity Function Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.4 The Haar–Fisz Transform for Poisson Data . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.5 Data-driven Haar–Fisz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.6 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
A R Software for Wavelets and Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
B Notation and Some Mathematical Concepts . . . . . . . . . . . . . . . 231
B.1 Notation and Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
C Survival Function Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

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2013-2-15 13:45 上传

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